浅谈开普勒三定律

stardust

  小时候，我就在很多科普书上看到过开普勒三定律，包括一些百科全书、从一到无穷大、天文爱好者杂志等等。这三定律是开普勒用第谷在汶岛天文观测的数据总结计算出来的。这三定律加快了日心说击败地心说，还是牛顿引力定律、平方反比定律、角动量守恒的源头，在科学史上意义巨大。开普勒视力不是很好，但是数学能力超群，他小时候与大彗星的相遇让他成了天文学家，他曾经有正多面体宇宙观，后来又计算出了开普勒三定律，也算是几何宇宙观的早期人物之一了，有人认为他毒死了第谷去获得数据，目前人们的验尸已经证伪了这一点，第谷真的是被尿憋死的，只要生病，活人真能让尿憋死。开普勒三定律包括开普勒第一定律（椭圆定律/轨道定律）、开普勒第二定律（面积定律）、开普勒第三定律（周期定律/调和定律），分别是行星（小行星、彗星、卫星等）沿椭圆/抛物线/双曲线轨道（圆锥曲线轨道）运行，中心天体（恒星、行星等）在一个焦点上；行星与中心天体的连线单位时间扫过的面积一定；以及轨道半长轴的立方与轨道周期的平方成正比。小时候我看起来越来越难懂了，直到后来学了更多……

开普勒第三定律
  对于开普勒第三定律，公式是这样的：$$\frac{a^3}{T^2}=K$$
  要想推出受力的公式，可以取一个特殊点，而这个点可以推出一般性的结论。








  这个点位于短轴与轨道焦点，速度正好是平均速度，角速度也是平均角速度\(\bar{\omega}=\frac{T}{2\pi}\)。因为整体上是一个环绕运动，所以平均受力也是这一点的向心力。$$\bar{F}=m\tfrac{4\pi^{2}}{T^{2}}a$$
  对开普勒第三定律变形，得到\(\frac{a}{T^{2}}=\frac{K}{a^{2}}\)，代人上式，得到：$$\bar{F}=\frac{m}{a^{2}}\frac{4\pi^{2}}{K}$$
  把半长轴a换成距离r，同时利用受力对称，两个天体都要考虑，得到：$$F\propto\frac{Mm}{r^{2}}$$
  引入系数G：$$F=G\frac{Mm}{r^{2}}$$
  引力指向中心天体，一般让向外是正方向，得到：$$\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{F}}=-G\frac{Mm}{r^{2}}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{\hat{r}}}=-G\frac{Mm}{r^{3}}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}$$

  这是高中的知识，不难理解，不是难点。虽然描述抽象了一点，但不难算。这个比例也和G的量纲有关，是\([L^{3}MT^{-2}]\)。还有这是第一个发现的平方反比定律，平方反比定律是因为我们在三维空间中，能量/场/粒子等在扩散中总量不变，但应为三维球的面积是\(S=4\pi r^{2}\)，所以随着膨胀，表面积越来越大，能量/场/粒子被分散开，面积越大分得越散，也就与面积成反比，与距离的平方呈反比。

开普勒第二定律
  开普勒第二定律相对难一点，需要入门级微积分。


  对于面积，在极短时间dt内，走过距离是vdt，所以扫过的面积是\({\rm d}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{S}}=\frac{1}{2}\buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}\times\buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}{\rm d}t\) ，  单位时间扫过的面积，也就是面积速度是
$$ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{V}=\frac{{\rm{d}}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over {S} }}{{\rm{d}}t}=\frac{1}{2} \mathord{\buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}\mathord{\times} \mathord{\buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}} $$




  人们通过类比动量\({\rm{\Delta}}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{p}}=\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{I}=\int \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{F}}}\mathord{{\rm d}t}\)、\(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{p}}=m\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}\)，发现了角动量\({\rm{\Delta}}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}=\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{\mu}=\int \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{M}}}\mathord{{\rm d}t}=\int\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}\mathord{\times}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{F}}\mathord{{\rm d}t}\)、\(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}=\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \longleftrightarrow $}} \over{J}}\mathord{\cdot}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{\omega}}=J\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{\omega}}=mr^{2}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{\omega}}\)。

  可以发现，\(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{V}}=\frac{\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}}{2m}\)，这就是角动量守恒的发现。

  因为开普勒第二定律，所以地球轨道速度并不匀速。过近日点一月，过远日点在七月，所以所以冬天太阳更大一点，但不是很明显，地球轨道不是很扁。因为不匀速的运动，导致了日行迹是8字形，每天同一时间拍一张太阳照片，叠加在一起，是一个8字形。可以看到日行迹中太阳最高点和最低点不是8字的顶点，这就是一年中天黑的最早不是冬至，天亮的最早的不是夏至的原因。

  小时候，我在想，如果闰正月，是不是就能过两次年了？如果闰腊月，是不是就有两次除夕了？小孩普遍比较盼着过年，但是从小到大从没有遇到过闰正月、闰腊月，这些也就不知道了。闰月，是为了解决阴历与阳历不同步的问题，12个回归月比1回归年要短。闰月的依据是24节气，其中有12个节，分别是立春、惊蛰、清明、立夏 、芒种、小暑、立秋、白露、寒露、立冬、大雪、小寒，12个气，分别是雨水、春分、谷雨、小满、夏至、大暑、处暑、秋分、霜降、小雪、冬至、大寒，这24个节气对应着24个节气点，位于天球上的黄道上，以及地球轨道上。闰月的规则是“无中气置闰”，一个回归月中没有气，那这个月就是闰月，名字是“闰+上个月”。因为24节气在黄道上是等分的，所以地球越快，一个回归月内通过的距离越长，投影到天球上就是太阳在黄道上运行距离更长，也就更容易遇到气点，不容易成为闰月。因为地球的椭圆轨道，所以正月、腊月地球比较快，闰正月、闰腊月也就难以见到了，人们说，“千年难遇闰腊月”。对于相对常见的闰正月，上一次闰正月是1556年（平气1640年），据计算下一次闰正月应该是2262年，已经很遥远了，对于闰腊月，上一次闰腊月是1403年（平气1574年），据计算下一次闰腊月应该是3358年，我们应该都不在了，我们真的不知道这些了。

开普勒第一定律
  开普勒第一定律听起来简单，但计算不简单。


  首先，要知道椭圆/圆锥曲线的方程，在极坐标下容易理解、计算。如图，利用余弦定理\(r^{2}+(2c)^{2}-2\cdot(2c)\cdot r\cos\theta=(2a-r)^{2}\)，展开平方整理得到\(c^{2}-cr\cos\theta=a^{2}-ar\)，运用偏心率\(e=\frac{c}{a}\),半通径\(p=\frac{b^{2}}{a}\),得到方程\(r(1-e\cos\theta)=p\)。


  一种方法是利用拉普拉斯-龙格-楞次（LRL）矢量\(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{A}}=\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}{\times}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{p}}+GMm^2\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{\hat{r}}}\)。这个矢量是守恒的，对时间求导可以证明。$$\frac{{\rm d}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{A}}}{{\rm d}t}= \frac{{\rm d}(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}{\times}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{p}})}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}(GMm^2\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{\hat{r}}})}{{\rm d}t}$$  $$= \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}{\times}\frac{{\rm d}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{p}}}{{\rm d}t}+GMm^2\frac{{\rm d}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{\hat{r}}}}{{\rm d}t}$$  $$= \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}{\times}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{F}}+GMm^2\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}}{r}$$  $$= \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}{\times}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{F}}+\frac{GMm^2}{r}\frac{{\rm d}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}}{{\rm d}t}+GMm^2\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}\frac{{\rm d}(\frac{1}{r})}{{\rm d}t}$$ $$= \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}{\times}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{F}}+\frac{GMm^2}{r}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}-\frac{GMm^2}{r^2}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}$$ $$= \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}{\times}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{F}}+\frac{GMm^2}{r}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}-\frac{GMm^2}{r^2}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}v_{r}$$  $$= \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}{\times}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{F}}+\frac{GMm^2}{r}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}-\frac{GMm^2}{r^3}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}\cdot\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}})$$
  运用万有引力定律，得：$$\frac{{\rm d}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{A}}}{{\rm d}t}= \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}{\times}(\frac{GMm}{r^{3}}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}})+\frac{GMm^2}{r}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}-\frac{GMm^2}{r^3}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}\cdot\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}})$$
  用速度和距离表示角动量：$$\frac{{\rm d}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{A}}}{{\rm d}t}= (\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}\times m\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}){\times}(\frac{GMm}{r^{3}}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}})+\frac{GMm^2}{r}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}-\frac{GMm^2}{r^{3}}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}\cdot\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}})$$ $$= \frac{GMm^{2}}{r^{3}}(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}\times\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}){\times}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}+\frac{GMm^2}{r}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}-\frac{GMm^2}{r^{3}}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}\cdot\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}})$$
  运用叉乘的性质\((\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}\times\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}){\times}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}=\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}\cdot\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}})-\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}^2\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}\)，得到：$$\frac{{\rm d}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{A}}}{{\rm d}t}= \frac{GMm^{2}}{r^{3}}[\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}\cdot\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}})-\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}^2\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}]+\frac{GMm^2}{r}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}-\frac{GMm^2}{r^{3}}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}(\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}\cdot\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}})=\mathbf{0}$$

  证明了拉普拉斯-龙格-楞次矢量守恒，就可以证明开普勒第一定律。用距离点乘拉普拉斯-龙格-楞次矢量：$$ \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle  \rightharpoonup $ }} \over{A}} \cdot \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup $ }} \over{r}} =\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup $}} \over{L}}{\times} \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup $}} \over{p}} \cdot \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup $}} \over{r}} +GMm^2 \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup $ }}  \over{ \hat{r}}} \cdot \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup $ }} \over{r} } $$
  $$ = \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}} {\times} \mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{p}}\cdot\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}+GMm^2r $$
  向量的混合积就是所夹的平行六面体的体积，也就是底面积（叉乘）乘高（点乘），正负符合右手定则。在符合右手定则的条件下可以轮换，得到：$$\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{A}}\cdot\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}=\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{p}}{\times}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}\cdot\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}+GMm^2r$$  $$=-\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}{\times}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{p}}\cdot\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}+GMm^2r$$  $$=-L^2+GMm^2r$$
  取拉普拉斯-龙格-楞次矢量指向r负半轴,运用内错角相等，整理，得：$$\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{A}}\cdot\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}=Ar\cos\theta=-L^2+GMm^2r$$
$$L^2=r(GMm^2r-A\cos\theta)$$
$$\frac{L^2}{GMm^2}=r(1-\frac{A}{GMm^2}\cos\theta)$$
$$e = \frac{A}{GMm^2},p = \frac{L^2}{GMm^2} $$
  Q.E.D.


  另一种方法是微分方程。把角动量公式变形\(\omega=\frac{L}{J}=\frac{L}{mr^2}=\frac{LR^2}{m}\),R是r的倒数类似曲率。可以算出径向速度：$$v_r=\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}r}{{\rm d}\theta}=\omega\frac{{\rm d}r}{{\rm d}\theta}=\frac{LR^2}{m}\frac{{\rm d}\frac{1}{R}}{{\rm d}\theta}=\frac{LR^2}{m}(-\frac{1}{R^2})\frac{{\rm d}R}{{\rm d}\theta}=-\frac{L}{m}\frac{{\rm d}R}{{\rm d}\theta}$$
  从而算出径向加速度：$$a_r=\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}v}{{\rm d}\theta}=\omega\frac{{\rm d}v}{{\rm d}\theta}=\frac{LR^2}{m}\frac{{\rm d}}{{\rm d}\theta}(-\frac{L}{m}\frac{{\rm d}R}{{\rm d}\theta})=-\frac{L^2R^2}{m^2}\frac{{\rm d^2}R}{{\rm d}\theta^2}$$
  列出加速度平衡公式：$$a_引=a_r-a_向$$
$$-\frac{GM}{r^2}=-\frac{L^2R^2}{m^2}\frac{{\rm d^2}R}{{\rm d}\theta^2}-\omega^2r$$
$$-GMR^2=-\frac{L^2R^2}{m^2}\frac{{\rm d^2}R}{{\rm d}\theta^2}-(\frac{LR^2}{m})^2\frac{1}{R}$$
$$-GMR^2=-\frac{L^2R^2}{m^2}\frac{{\rm d^2}R}{{\rm d}\theta^2}-\frac{L^2R^3}{m^2}$$
  整理，得：$$\frac{GMm^2}{L^2}=\frac{{\rm d^2}R}{{\rm d}\theta^2}+R$$
$$\frac{{\rm d^2}{(R-\frac{GMm^2}{L^2}})}{{\rm d}\theta^2}+R-\frac{GMm^2}{L^2}=0$$
  求解微分方程，消掉\(R-\frac{GMm^2}{L^2}\)，特征方程是\(\frac{{\rm d^2}}{{\rm d}\theta^2}+1=0\)，\(D^2+1=0\)，解为\(D=\pm i\)，得到微分式\(D(R-\frac{GMm^2}{L^2})=\pm i(R-\frac{GMm^2}{L^2})=\frac{{\rm d}}{{\rm d}\theta}(R-\frac{GMm^2}{L^2})\)。积分上式得：$$\int\pm i{\rm d}\theta +C=\int\frac{{\rm d}(R-\frac{GMm^2}{L^2})}{R-\frac{GMm^2}{L^2}}$$  $$\pm i\theta +C=\ln(R-\frac{GMm^2}{L^2})$$  $$R-\frac{GMm^2}{L^2}=e^{\pm i\theta+C}=e^C(\cos\theta+i\sin\theta)$$
  取实数部分：$$R=e^C\cos\theta+\frac{GMm^2}{L^2}$$
  得出：$$\frac{L^2}{GMm^2}=r(\frac{L^2e^C}{GMm^2}\cos\theta+1)$$  $$e=\frac{L^2e^C}{GMm^2},p=\frac{L^2}{GMm^2}$$
  Q.E.D.


  还有一种方法，是在b站上3bule1brown讲的。

  首先，利用圆的离心点的性质构造椭圆。

  然后，用开普勒第二定律获得速度空间。

  最后，把速度空间与轨道通过离心点联系起来。

  还有，要想求出具体的离心率，还需要进一步计算。


  首先，是计算半通径，运用角动量：$$\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{L}}=\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}\times\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{p}}=\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}\times m\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}}=2m(\frac{1}{2}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}\times\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{v}})=2m\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{V}}$$
  取平均值：$$L=2m\bar{V}=2m\frac{S}{T}=2m\frac{\pi ab}{T}$$
  平方，得到：$$L^2=\frac{4\pi ^2m^2a^2b^2}{T^2}$$  $$b^2=\frac{L^2T^2}{4\pi ^2m^2a^2}$$
  运用开普勒第三定律\(\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}\)，做比，得到：$$p=\frac{b^2}{a}=\frac{L^2}{GMm^2}$$
  与解出的结果一致。

  运用引力势能：$$E=\int_{r}^{+\infty} -\frac{GMm}{r^2}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{\hat{r}}}\cdot{\rm d}\mathord{ \buildrel{ \lower3pt \hbox{$ \scriptscriptstyle \rightharpoonup$}} \over{r}}=-\frac{GMm}{r}$$
  取r=a特殊点，利用速度为平均速度且速度方向与圆心到天体距离垂直，得到：$$ E = E_k + E_p = \frac{1}{2} mv^2- \frac{GMm}{a} = \frac{1}{2} m \bar{v}^2 - \frac{GMm}{a} = \frac{a}{2} \frac{GMm}{a^2} - \frac{GMm}{a}= - \frac{GMm}{2a}$$
  做比，得到： $$ \frac{b^2}{a^2} = - \frac{2EL^2}{G^2M^2m^3 }$$
  可以求出偏心率：$$e^2 = \frac{c^2}{a^2} = \frac{a^2-b^2}{a^2} =1- \frac{b^2}{a^2} =1+ \frac{2EL^2}{G^2M^2m^3} $$
$$e = \sqrt{1+ \frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}$$

  可以看出来，在圆周运动时\(E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=\frac{r}{2}\frac{mv^2}{r}-\frac{GMm}{r}=\frac{r}{2}\frac{GMm}{r^2}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{2r}\)，算出\(e=\sqrt{1+\frac{-\frac{GMm}{2r}2L^2}{G^2M^2m^3}}=\sqrt{1-\frac{L^2}{GMm^2r}}=\sqrt{1-\frac{(mvr)^2}{GMm^2r}}=\sqrt{1-\frac{r^2}{GMmr}\frac{mv^2}{r}}=0\)，结果正确，轨道是圆，E=0时，是逃逸速度，无穷远处动能完全转化为势能，算出e=1,是抛物线。速度在两者之间，0<e<1，是椭圆。速度更大，e>1，是双曲线。


后记
  开普勒三定律事实上难度是开普勒第一定律最难，开普勒第二定律中间，开普勒第三定律最简单。这与小时候的想法完全是反的。不得不说宇宙有很大的欺骗性，这是个有趣的问题。这篇文章是一篇类似笔记的东西，希望对大家能有帮助。